Малакян – воспитанник «Пюника». В сезоне 2007 года в составе «Пюника-2» он стал победителем чемпионата Первой лиги Армении, а 10 ноября того же года в выездном матче против гюмрийского «Ширака» последнего тура Высшей лиги Армении Эдгар Малакян дебютировал в главной команде «Пюника». Летом 2012 года перешел из «Пюника» в одну из сильнейших команд Чехии «Викторию Пльзень».
За свою карьеру Малакян также играл в чешском «Ческе-Будеёвице», ереванском «Банаце» (ныне «Урарту»), «Алашкерте», гюмрийском «Шираке», украинской «Стали», казахском «Жетысу» и румынском «Петролуле». Его предыдущей командой был ереванский «Арарат».
Эдгар Малакян трижды становился чемпионом Армении в составе «Пюника» (2008, 2009 и 2010), трижды выигрывал Кубок Армении в 2009, 2010 и 2020/21 годах (2 раза с «Пюником», один раз с «Араратом») и столько же раз становился обладателем Суперкубка Армении (2008, 2010 и 2011).
В 2008 году по итогам сезона был признан «Открытием года» еженедельником «Футбол Плюс».
Он провел 232 матча и забил 29 мячей в чемпионатах Высшей лиги Армении.
Малакян играл в сборных Армении до 19 и 21 года, а 12 августа 2009 года в товарищеском матче против национальной сборной Молдовы дебютировал в национальной сборной Армении. В составе нашей сборной он провел 21 матч.
