Артур Авагян перешел в «Пюник» из «Нораванка» в 2022-м году. С бывшим клубом футболист выиграл Кубок Армении в сезоне 2021/22, а в сезоне 2015/16 стал чемпионом страны с «Алашкертом». Единственным иностранным клубом Артура был казахстанский «Спартак», где он выступал с 2014 по 2016 год. В 2013-м году Авагян сыграл один официальный матч за национальную сборную Армении.