Антон Братков перешел в «Пюник» из украинского «Металлиста» в 2021-м и по итогам сезона 21/22 стал чемпионом Армении. Профессиональную карьеру Братков начинал в киевском «Динамо», а затем выступал за разные клубы Украины: «Верес», «Десна», «Звезда», «Львов» и «Металлист». Также Антон провел один официальный матч за «Маккаби» (Тель-Авив), самый знаменитый израильский клуб. Кроме того, Братков получал вызов в молодежную сборную Украины.