Защитник получил футбольное образование в нашей академии, играя во всех возрастных командах. В 2011 году Тарон Восканян подписал свой первый профессиональный контракт и начал выступать в Премьер-лиге Армении.
Кроме «Пюника», Тарон Восканян выступал за «Алашкерт» на протяжении 6 лет. 31-летний защитник является трехкратным чемпионом Армении; один раз в составе «Пюника» и дважды в составе «Алашкерта». Тарон 4 раза становился обладателем Кубка Армении и дважды - Суперкубка.
Тарон Восканян сыграл 321 официальный матч в чемпионате Армении. Восканян принял участие в 4 матчах за «Алашкерт» в групповом этапе Лиги конференций, а всего в еврокубках сыграл 42 матча и забил один гол.
С 2016 по 2018 год Восканян провел на Кипре, защищая цвета «Кармиотиссы» и «Неа Саламины».