Кулаков начал свою карьеру в донецком «Шахтере», одном из самых престижных клубов Украины, где дошел до основного состава. Затем он успешно выступал за такие украинские клубы, как «Ильичевец», полтавская «Ворскла», «Днипро» и харьковский «Металлист». Вместе с «Шахтером» и «Ворсклой» Кулаков становился обладателем Кубка Украины. Также он был приглашен в сборную Украины, где дебютировал в 2010 году.

Позже Кулаков провел 9 сезонов в ФК «Урал», где стал капитаном и лидером команды.

Денис Кулаков возглавит спортивный департамент ФК «Пюник» и будет отвечать за разработку долгосрочной стратегии и создание эффективных инструментов для развития как основной команды, так и академии клуба. Денис будет тесно сотрудничать с тренерскими штабами основной команды и академии, чтобы обеспечить комплексный подход к развитию клуба.