Артур Степанян начал заниматься футболом в 6 лет, сделав первые шаги в «Урарту» (бывший «Бананц»). Затем следующей командой Степаняна стал «Пюник», с которым он дважды выигрывал Молодежный чемпионат Армении. Артур был приглашен в сборную Армении до 15 лет.