Эрик Бабаян начал заниматься футболом в 6 лет, сделав первые шаги в «Академии». Затем в 2015 году Эрик перешел в «Арарат», а еще через 3 года перешел в «Пюник». В сезоне 2021/22 стал победителем Чемпионата Армении. Бабаян получал приглашения в сборные Армении от 14 до 17 лет.