Էրիկ Բաբայանը ֆուտբոլով սկսել է զբաղվել 6 տարեկանից՝ առաջին քայլերը անելով Ակադեմիայում: Այնուհետև 2015 թվականին Էրիկը տեղափոխվել է «Արարատ» և 3 տարի անց տեղափոխվել «Փյունիկ»: 2021/22 մրցաշրջանում նա դարձել է Հայաստանի առաջնության հաղթող: Բաբայանը հրավերներ է ստացել Հայաստանի 14-ից մինչև 17 տարեկանների հավաքականներ: